Materi Matriks | SMK DIPSA

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom serta dituliskan di dalam tanda kurung.

Contoh matriks:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \]

Matriks tersebut memiliki 2 baris dan 2 kolom.

Ingat:
Ordo matriks = banyak baris × banyak kolom.

\[ \boxed{ \text{Ordo} = \text{Baris} \times \text{Kolom} } \]

Contoh Matriks 2 × 3

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]

Matriks B mempunyai 2 baris dan 3 kolom sehingga ordonya adalah 2 × 3.

B. Unsur-Unsur Matriks

Perhatikan matriks berikut:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]

Setiap bilangan di dalam matriks disebut elemen atau unsur matriks.

Elemen matriks biasanya ditulis \(a_{ij}\), dengan:

\(i\) = nomor baris
\(j\) = nomor kolom

Contohnya:

\[ a_{12}=5 \]

Artinya elemen pada baris ke-1 kolom ke-2 adalah 5.

\[ a_{23}=6 \]

Artinya elemen pada baris ke-2 kolom ke-3 adalah 6.

C. Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks Baris

Matriks yang hanya mempunyai satu baris.

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} \]

Ordonya adalah \(1\times4\).

2. Matriks Kolom

Matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

\[ B = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Ordonya adalah \(3\times1\).

3. Matriks Persegi

Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]

Ordonya adalah \(2\times2\).

4. Matriks Nol

Semua elemennya bernilai nol.

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]

5. Matriks Identitas

Matriks persegi yang memiliki angka 1 pada diagonal utama dan angka 0 di luar diagonal utama.

\[ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

6. Matriks Diagonal

Matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol.

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \]

D. Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama apabila:

Memiliki ordo yang sama.
Setiap elemen yang bersesuaian memiliki nilai yang sama.

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \] \[ \boxed{A=B} \]

E. Transpose Matriks

Transpose adalah proses mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \] \[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]

Tips: Bayangkan matriks seperti tabel. Ketika ditranspose, baris yang awalnya mendatar berubah menjadi kolom.

F. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan apabila mempunyai ordo yang sama.

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \] \[ A+B = \begin{pmatrix} 2+1 & 3+2 \\ 4+3 & 5+4 \end{pmatrix} \] \[ \boxed{ A+B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} } \]

Ingat: Penjumlahan dilakukan pada elemen yang memiliki posisi sama.

2. Pengurangan Matriks

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A-B = \begin{pmatrix} 8-2 & 7-3 \\ 6-4 & 5-1 \end{pmatrix} \] \[ \boxed{ A-B = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} } \]

G. Perkalian Matriks dengan Bilangan

Sebuah matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan. Bilangan tersebut dikalikan ke setiap elemen matriks.

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \] \[ 2A = \begin{pmatrix} 2(2) & 2(3) \\ 2(4) & 2(5) \end{pmatrix} \] \[ \boxed{ 2A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} } \]

Cara mudah: angka di luar matriks dikalikan ke semua angka di dalam matriks.

H. Perkalian Dua Matriks

Perkalian matriks dilakukan dengan konsep baris × kolom.

Syarat perkalian:
Jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Contoh

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \] \[ B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \]

Elemen kiri atas:

\[ (1\times5)+(2\times7) = 5+14 = 19 \]

Elemen kanan atas:

\[ (1\times6)+(2\times8) = 6+16 = 22 \]

Elemen kiri bawah:

\[ (3\times5)+(4\times7) = 15+28 = 43 \]

Elemen kanan bawah:

\[ (3\times6)+(4\times8) = 18+32 = 50 \]

\[ \boxed{ AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} } \]

Menentukan Apakah Perkalian Bisa Dilakukan

Misalnya:

\[ (2\times3)(3\times4) \]

Bisa dikalikan karena jumlah kolom matriks pertama adalah 3 dan jumlah baris matriks kedua juga 3.

\[ \boxed{ (2\times3)(3\times4) = 2\times4 } \]

I. Determinan Matriks 2 × 2

Misalkan:

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

Determinan matriks \(A\) adalah:

\[ \boxed{|A|=ad-bc} \]

Contoh

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \] \[ |A| = (3\times5)-(2\times4) \] \[ =15-8 \] \[ \boxed{|A|=7} \]

Cara mudah mengingat:
Diagonal utama dikali, kemudian dikurangi hasil perkalian diagonal lainnya.

J. Invers Matriks 2 × 2

Jika:

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

Maka:

\[ \boxed{ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} } \]

Penting!
Matriks hanya mempunyai invers apabila determinannya tidak sama dengan nol.

\[ \boxed{|A|\neq0} \]

Contoh

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \]

Determinan:

\[ |A| = (2\times2)-(1\times3) = 4-3 = 1 \]

Karena determinan tidak sama dengan nol, maka invers ada.

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \]

K. Matriks untuk Menyelesaikan SPL

Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL).

Contoh:

\[ 2x+y=7 \] \[ x+y=5 \]

Bentuk matriksnya:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Dapat ditulis:

\[ AX=B \]

Jika \(A\) mempunyai invers, maka:

\[ \boxed{X=A^{-1}B} \]

L. Rangkuman Rumus Penting

Materi	Rumus / Keterangan
Ordo	Baris × Kolom
Penjumlahan	Elemen yang bersesuaian dijumlahkan
Pengurangan	Elemen yang bersesuaian dikurangkan
Perkalian skalar	Semua elemen dikalikan bilangan
Perkalian matriks	Baris × Kolom
Transpose	Baris menjadi kolom
Determinan 2×2	\(ad-bc\)
Invers 2×2	\[ \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
Syarat invers	Determinan ≠ 0

M. 5 Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 – Menentukan Ordo

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \]

Tentukan ordo matriks \(A\).

Pembahasan:

Matriks mempunyai 2 baris dan 3 kolom.

Jadi:

\[ \boxed{ A \text{ berordo } 2\times3 } \]

Contoh 2 – Penjumlahan Matriks

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \] \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Tentukan \(A+B\).

\[ A+B = \begin{pmatrix} 2+1 & 3+4 \\ 4+2 & 5+3 \end{pmatrix} \] \[ \boxed{ A+B = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} } \]

Contoh 3 – Perkalian Matriks

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \] \[ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \]

Tentukan \(AB\).

\[ AB = \begin{pmatrix} (1\times2)+(2\times3) & (1\times1)+(2\times2) \\[8pt] (3\times2)+(4\times3) & (3\times1)+(4\times2) \end{pmatrix} \] \[ \boxed{ AB = \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 18 & 11 \end{pmatrix} } \]

Contoh 4 – Determinan

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \]

Tentukan determinan \(A\).

\[ |A| = (4\times5)-(3\times2) \] \[ =20-6 \] \[ \boxed{|A|=14} \]

Contoh 5 – Invers Matriks

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Tentukan \(A^{-1}\).

Determinan:

\[ |A| = (3\times1)-(1\times2) = 1 \]

Karena determinan ≠ 0, maka invers ada.

\[ \boxed{ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} } \]

N. 5 Latihan Soal

Latihan 1

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]

Tentukan:

Ordo matriks \(A\)
Nilai \(a_{12}\)
Nilai \(a_{23}\)

Latihan 2

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \] \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \]

Tentukan:

\[ A+B \]

dan

\[ A-B \]

Latihan 3

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \] \[ B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Tentukan:

\[ AB \]

Latihan 4

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]

Tentukan determinan matriks \(A\).

Latihan 5

Diketahui:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Tentukan:

\[ A^{-1} \]

O. 5 Tugas

Tugas 1 – Mengenal Matriks

Buatlah 3 contoh matriks dengan ketentuan:

Matriks \(2\times2\)
Matriks \(2\times3\)
Matriks \(3\times3\)

Kemudian tentukan ordo masing-masing matriks.

Tugas 2 – Operasi Matriks

Buat dua matriks \(A\) dan \(B\) berordo \(3\times3\).

Hitung:

\(A+B\)
\(A-B\)
\(2A\)

Tugas 3 – Perkalian Matriks

Buat dua matriks \(A_{2\times2}\) dan \(B_{2\times2}\).

Kemudian hitung:

\[ AB \]

Tuliskan seluruh langkah perhitungannya.

Tugas 4 – Determinan dan Invers

Buat sebuah matriks \(2\times2\).

Tentukan:

Determinan matriks.
Apakah matriks tersebut mempunyai invers?
Jika mempunyai invers, tentukan inversnya.

Tugas 5 – Matriks dalam Kehidupan Sehari-hari

Carilah satu contoh penggunaan matriks dalam kehidupan sehari-hari.

Contohnya:

Data nilai siswa
Penjualan barang
Stok barang
Jadwal pelajaran
Data harga
Data produksi

Buat data tersebut dalam bentuk matriks dan jelaskan mengapa matriks cocok digunakan untuk menyajikan data tersebut.

Format tugas:

Judul
Permasalahan
Data
Bentuk Matriks
Penjelasan
Kesimpulan

P. Kesimpulan

Matriks merupakan susunan bilangan dalam baris dan kolom yang dapat digunakan untuk menyajikan dan mengolah data secara terstruktur.

Dalam materi ini kita telah mempelajari pengertian matriks, ordo, elemen matriks, jenis-jenis matriks, transpose, penjumlahan, pengurangan, perkalian, determinan, invers, serta penggunaan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Kunci utama yang perlu diingat:

Ordo = baris × kolom.
Penjumlahan dan pengurangan harus memiliki ordo yang sama.
Perkalian matriks menggunakan konsep baris × kolom.
Determinan matriks 2 × 2 adalah \(ad-bc\).
Matriks mempunyai invers jika determinannya tidak sama dengan nol.