SPLTV - SMK DIPSA Learning Center

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu memahami konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan menyelesaikan permasalahan SPLTV dengan beberapa metode.

Memahami pengertian SPLTV.

Menentukan bentuk umum SPLTV.

Mengidentifikasi variabel, koefisien, dan konstanta.

Menyelesaikan SPLTV dengan metode substitusi.

Menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi.

Menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan.

1. Pengertian SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sistem yang terdiri dari tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel.

Variabel yang digunakan biasanya ditulis dengan simbol x, y, dan z.

Contoh sederhana:

x + y + z = 6
2x + y + z = 8
x + 2y + z = 9

Sistem tersebut merupakan SPLTV karena mempunyai tiga persamaan dan tiga variabel, yaitu x, y, dan z.

2. Bentuk Umum SPLTV

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Setiap persamaan mempunyai tiga variabel, yaitu x, y, dan z.

3. Unsur-Unsur SPLTV

Perhatikan persamaan berikut:

2x + 3y - z = 10

Unsur	Contoh	Penjelasan
Variabel	x, y, z	Nilai yang belum diketahui
Koefisien	2, 3, -1	Bilangan yang mengalikan variabel
Konstanta	10	Bilangan yang tidak memiliki variabel

4. Metode Substitusi

Metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lainnya, kemudian menggantinya ke persamaan lain.

1 Contoh SPLTV

x + y + z = 6
2x + y + z = 8
x + 2y + z = 9

2 Dari persamaan pertama:

x = 6 - y - z

3 Substitusikan x ke persamaan kedua:

2(6 - y - z) + y + z = 8

12 - 2y - 2z + y + z = 8
-y - z = -4
y + z = 4

4 Substitusikan x ke persamaan ketiga:

(6 - y - z) + 2y + z = 9

6 + y = 9
y = 3

5 Karena:

y + z = 4

maka:

3 + z = 4
z = 1

6 Tentukan x:

x + 3 + 1 = 6
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah:

x = 2, y = 3, z = 1

5. Metode Eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan menghilangkan salah satu variabel dari dua persamaan sehingga diperoleh persamaan dengan jumlah variabel yang lebih sedikit.

1 Misalkan:

x + y + z = 6
2x + y + z = 8
x + 2y + z = 9

2 Eliminasi z dari persamaan pertama dan kedua:

x + y + z = 6
2x + y + z = 8

x = 2

3 Masukkan x = 2 ke persamaan pertama:

2 + y + z = 6
y + z = 4

4 Masukkan x = 2 ke persamaan ketiga:

2 + 2y + z = 9
2y + z = 7

5 Dari:

y + z = 4
2y + z = 7

Eliminasi z:

y = 3

6 Sehingga:

z = 1

Jadi:

x = 2, y = 3, z = 1

6. Metode Gabungan

Metode gabungan merupakan cara menyelesaikan SPLTV dengan mengombinasikan metode eliminasi dan substitusi.

Strategi yang dapat digunakan:

1. Eliminasi salah satu variabel terlebih dahulu.

2. Diperoleh SPLDV.

3. Selesaikan SPLDV menggunakan eliminasi atau substitusi.

4. Substitusikan kembali nilai yang diperoleh untuk mendapatkan variabel terakhir.

7. Contoh Soal Bertahap

Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem berikut:

x + y + z = 9
2x + y + z = 11
x + 2y + z = 12

Langkah 1 — Eliminasi

Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:

x = 2

Langkah 2 — Tentukan y dan z

Substitusikan x = 2 ke persamaan pertama:

2 + y + z = 9
y + z = 7

Substitusikan x = 2 ke persamaan ketiga:

2 + 2y + z = 12
2y + z = 10

Langkah 3 — Eliminasi z

y + z = 7
2y + z = 10

y = 3

Langkah 4 — Tentukan z

3 + z = 7
z = 4

Jawaban:

x = 2, y = 3, z = 4

8. Latihan Soal

Soal 1

Tentukan nilai x, y, dan z:

x + y + z = 6
x + y = 5
z = 1

Karena z = 1 dan x + y = 5, maka:

x + y + z = 6
5 + 1 = 6

Jadi z = 1 dan x + y = 5. Nilai x dan y belum dapat ditentukan secara tunggal dari informasi yang diberikan.

Soal 2

Tentukan nilai x, y, dan z:

x + y + z = 9
x + y = 5
x = 2

Dari x = 2 dan x + y = 5:

2 + y = 5
y = 3

Kemudian:

2 + 3 + z = 9
z = 4

Jadi:

x = 2, y = 3, z = 4

Soal 3

Tentukan nilai x, y, dan z:

x + y + z = 12
x + y = 7
x = 3

Karena x = 3:

3 + y = 7
y = 4

Kemudian:

3 + 4 + z = 12
z = 5

Jadi:

x = 3, y = 4, z = 5

9. Rangkuman

SPLTV adalah sistem yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel.

Variabel yang umum digunakan adalah x, y, dan z.

SPLTV dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi, eliminasi, maupun gabungan.

Hasil penyelesaian SPLTV berupa nilai x, y, dan z yang memenuhi seluruh persamaan.

10. Kuis Interaktif

Pilih jawaban yang paling tepat.

1. Sistem yang mempunyai tiga persamaan linear dan tiga variabel disebut...